Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2003/04

Serie 2

1. a) Zeige (3 Punkte): Ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ein Produkt von Sphären,

M ≈ S^{k_{1}} × … × S^{k_{r}}, k_{1} + … + k_{r} = n,

so gibt es eine Einbettung M → ℝ^{n+1}. (≈ = diffeomorph zu)

b) (1 Punkt) Beschreibe eine Einbettung S^{1} × S^{1} → ℝ^{3} mit elementaren Funktionen.

2. a) Es sei f̄ Keim einer differenzierbaren Abbildung (M, p) → (N, q) zwischen Mannigfaltigkeiten mit Rang D_{p}f = r. Zeige (2 Punkte): Ex. Umgebung U(p) so daß Rang D_{p′}f ≥ r f.a. p′ ∈ U(p).

b) Es sei G(n, k) die Grassmann-Mannigfaltigkeit aus Aufgabe 4. Blatt1. Betrachte darin das kanonische Element ℝ^{k} = ℝ^{k} × {0} ⊂ ℝ^{n} und die Teilmengen

G_{i}(n, k) = { U ∈ G(n, k) | dim U ∩ ℝ^{k} = i } .

Zeige (2 Punkte): Jedes G_{i} ist eine Untermannigfaltigkeit von G(n, k) und bestimme die Dimension.

c) optional (2 Punkte): Bestimme die Diffeomorphieklasse von G_{i}(n, k).

3. Es sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, p ∈ M und E_{p} der Ring der glatten Funktionenkeime in p. (E_{n} = E_{0}(ℝ^{n})) Es sei 𝔪_{p} ⊂ E_{p} das maximale Ideal der Keime, die in p verschwinden.

a) Zeige (2 Punkte): 𝔪_{n} ⊂ E_{n} ist erzeugt von den Keimen x̄_{1}, …, x̄_{n} der Koordinatenfunktionen.

b) (2 Punkte): Es sei 𝔪_{p}^{2} = { f̄· ḡ | f̄, ḡ ∈ 𝔪_{p} }. Zeige: Es gibt einen kanonischen Isomorphismus

𝔪_{p}/𝔪_{p}^{2} ≅ (T_{p}M)^{∗}

auf den zu T_{p}M dualen ℝ-Vektorraum. Hinweis: Finde eine kanonische nicht-degenerierte Bilinearform 𝔪_{p}/𝔪_{p}^{2} × T_{p}M → ℝ.

4. a) Sei M eine C^{2}-Mannigfaltigkeit, p ∈ M. Dann bezeichne mit f′(p) = D_{p}f das Differential einer Funktion f ∈ C^{1}(M, ℝ). Bezeichne mit Crit f = { p ∈ M | f′(p) = 0 } die Menge der kritischen Punkte von f. Zeige (2 Punkte): Die “zweite Ableitung” von f, d.h. die Hessesche Hf(p) = f′′(p) ist genau dann wohldefinierbar in p, wenn p ∈ Crit f, und dann ist f′′(p) eine symmetrische Bilinearform auf T_{p}M.

b) Verifiziere im Detail, daß

\begin{matrix}[·, ·]: 𝔛(M) × 𝔛(M) → 𝔛(M), \\ [X, Y](f) = X(Y (f)) − Y (X(f)) f.a.f ∈ C^{∞}(M, ℝ), \end{matrix}

eine wohldefinierte Lie-Algebra-Struktur auf dem C^{∞}(M)-Modul 𝔛(M) der glatten Vektorfelder einer glatten Mannigfaltigkeit M definiert.

Rückgabe: Mittwoch, 29.10.03, in der Übung.