Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 8

1. Beweisen Sie folgende Homöomorphien:

a) (L) B_{r}^{n}(0) \ {0} ≈ S^{n−1} × [0, ∞), mit B_{r}^{n}(0) = {x ∈ ℝ^{n} | ∥x∥_{2} ≤ r}, r > 0, S^{n−1} = ∂B_{1}^{n}(0). (1 Pkt.)

b) { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1 } ≈ ℝ^{2} \ {0}. (1 Pkt.)

c) { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = −1 } ≈ S^{2} \ { (x, y, 0) | x^{2} + y^{2} = 1 }. (1 Pkt.)

d) (L) \{ (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \} ≈ S^{1} × S^{1}, für 0 < r < R. (2 Pkte.)

2. Ein metrischer Raum (X, d) heißt wegzusammenhängend, wenn für alle p, q ∈ X eine stetige Abb. c: [0, 1] → X existiert mit c(0) = p und c(1) = q. c heißt Weg von p nach q.

a) (L) Zeige: X wegzusammenhängend und X ≈ Y ⇒ Y wegzusammenhängend. (1 Pkt.)

b) (L) Zeige: { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} = z^{2} } ≉ ℝ^{2}. (3 Punkte)

3. a) Zeige: Kompakte metrische Räume sind vollständig. (2 Pkte.)

b) (L) Es sei H der Vektorraum aller Folgen (x_{n}) ∈ ℝ^{ℕ} mit ∑_{n∈ℕ} |x_{n}|^{2} < ∞, versehen mit der Norm ∥(x_{n})∥_{2} = \sqrt{∑_{n∈ℕ} |x_{n}|^{2}}. Zeige: Die Einheitssphäre S = { x ∈ H | ∥x∥_{2} = 1 } ist abgeschlossen, beschränkt, aber nicht kompakt. (Hinweis: Betrachte die Folge der “Einheitsvektoren” (0, …, 0, 1, 0, …)) (2 Pkte.)

4. (L) Es sei g: ℝ^{2} → ℝ eine stetige Funktion und f: ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f(x, y) = ∫_{0}^{y} g(x, t) dt .

Zeige: Dann ist auch f wieder eine stetige Funktion auf ℝ^{2}. (2 Pkte.)

Rückgabe: Freitag, 05.06.09 in den Briefkästen