Numerische lineare Algebra (Professor Dr. Peter Kunkel)

Teilnehmerkreis:

Studierende mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik und Diplom-Wirtschaftsmathematik ab dem 3. Studienjahr

Scheinvergabe:

./.

Vorkenntnisse:

./.

Inhalt:

Selbst bei der numerischen Behandlung allgemeiner nichtlinearer Probleme, etwa durch das Newton-Verfahren, bleibt letztendlich als Teilproblem das Lösen entsprechender linearer Probleme. Dabei ist es für die Effizienz und Stabilität wesentlich, Strukturen des Ausgangsproblems auszunutzen. Damit ergibt sich eine große Vielfalt von verschiedenen Algorithmen, die bei unterschiedlichen Problemstellungen ihre Anwendung finden. In der vorliegenden Vorlesung sollen die wichtigsten Methoden und Techniken in diesem Bereich behandelt werden. Stichworte sind: Direkte Lösung von linearen Gleichungssystemen (Gauß-Elimination, QR-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung und ihre Modifikationen), lineare Ausgleichsrechnung (Normalgleichung, Gram-Schmidt-Verfahren, modifiziertes Gram-Schmidt-Verfahren, QR-Zerlegung mit Spaltentausch und Rangbestimmung, Moore-Penrose-Pseudoinverse), iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen (Jacobi-Verfahren, Gauß-Seidel-Verfahren, Relaxation, Krylov-Raum-Verfahren, Mehrgitter-Verfahren, konjugierte Gradienten), nichtsymmetrische und symmetrische Eigenwertprobleme (Potenzmethode, inverse Iteration, QR-Verfahren, Rayleigh-Quotienten-Verfahren, Reduktion und Deflation, Jacobi-Verfahren, Singulärwerte, Rayleigh-Ritz-Verfahren, Lanczos-Verfahren).

Gliederung:

1 Grundlagen
2 Direkte Lösung von linearen Gleichungssystemen
3 Lineare Ausgleichsrechnung
4 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen
5 Nichtsymmetrische Eigenwertprobleme
6 Symmetrische Eigenwertprobleme

Literatur:

Golub/Van Loan: Matrix Computations; North Oxford Academic.
Demmel: Applied Numerical Linear Algebra; SIAM.
Trefethen/Bau: Numerical Linear Algebra; SIAM.

Universität Leipzig Fakultät für Mathematik und Informatik Mathematisches Institut - Studium