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Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut - Studium
Verallgemeinerte Inverse (Professor Dr. Peter Kunkel)
Teilnehmerkreis:
Studierende ab 5. Fachsemester mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik
oder Diplom-Wirtschaftsmathematik
Scheinvergabe:
./.
Vorkenntnisse:
./.
Inhalt:
Viele Problemstellungen wie etwa lineare Gleichungssysteme lassen sich
einfach lösen, wenn die zugrunde liegende lineare Abbildung invertierbar ist.
Ist dies nicht der Fall, so muß man damit rechnen, daß das gegebene
Problem überhaupt nicht lösbar oder nicht eindeutig lösbar ist.
Man kann dann versuchen, die Problemstellung so zu modifizieren,
daß sich im invertierbaren Fall die gleiche Lösung ergibt,
daß aber auch im nichtinvertierbaren Fall eine eindeutige Lösung existiert.
Dieses Vorgehen definiert dann zu der zugrunde liegenden linearen Abbildung
eine Abbildung, die im invertierbaren Fall gerade die Inverse ist und diese
damit auf den nichtinvertierbaren Fall verallgemeinert. Man spricht deshalb
von verallgemeinerten Inversen.
Im Fall von linearen Gleichungssystemen bettet man die Problemstellung
in eine Minimierungsaufgabe mit kleinsten Quadraten ein. Die sich
ergebende verallgemeinerte Inverse heißt Moore-Penrose-Pseudoinverse
und ist für beliebige Matrizen definiert. Im Zusammenhang mit impliziten
linearen Differentialgleichungen erhält man die Drazin-Inverse als
weitere Verallgemeinerung der Inversen von quadratischen Matrizen.
Gegenstand der Vorlesung sind die wesentlichen Eigenschaften der
Moore-Penrose-Pseudoinversen und Drazin-Inversen sowie Anwendungen
und Verallgemeinerungen dieser in den Bereichen elektronische Schaltkreise,
Markov-Ketten, differentiell-algebraische Gleichungen und
Verteilungsfunktionen.
Gliederung:
1 Moore-Penrose-Pseudoinverse
1.1 Motivation und Grundlagen
1.2 Existenz und Eindeutigkeit
1.3 Eigenschaften und Darstellungen
1.4 Summen und Produkte
1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
1.6 Verallgemeinerungen und Nebenbedingungen
2 Drazin-Inverse
2.1 Motivation
2.2 Existenz und Eindeutigkeit
2.3 Eigenschaften und Darstellungen
3 Anwendungen und Verallgemeinerungen
3.1 Elektronische Schaltkreise
3.2 Markov-Ketten
3.3 Differentiell-algebraische Gleichungen
3.4 Verteilungsfunktionen
Literatur:
Ben-Israel/Greville: Generalized Inverses; John Wiley & Sons.
Campbell/Meyer: Generalized Inverses of Linear Transformations; Pitman.