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Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut - Studium

Verallgemeinerte Inverse (Professor Dr. Peter Kunkel)


Teilnehmerkreis:

Studierende ab 5. Fachsemester mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik oder Diplom-Wirtschaftsmathematik

Scheinvergabe:

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Vorkenntnisse:

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Inhalt:

Viele Problemstellungen wie etwa lineare Gleichungssysteme lassen sich einfach lösen, wenn die zugrunde liegende lineare Abbildung invertierbar ist. Ist dies nicht der Fall, so muß man damit rechnen, daß das gegebene Problem überhaupt nicht lösbar oder nicht eindeutig lösbar ist. Man kann dann versuchen, die Problemstellung so zu modifizieren, daß sich im invertierbaren Fall die gleiche Lösung ergibt, daß aber auch im nichtinvertierbaren Fall eine eindeutige Lösung existiert. Dieses Vorgehen definiert dann zu der zugrunde liegenden linearen Abbildung eine Abbildung, die im invertierbaren Fall gerade die Inverse ist und diese damit auf den nichtinvertierbaren Fall verallgemeinert. Man spricht deshalb von verallgemeinerten Inversen. Im Fall von linearen Gleichungssystemen bettet man die Problemstellung in eine Minimierungsaufgabe mit kleinsten Quadraten ein. Die sich ergebende verallgemeinerte Inverse heißt Moore-Penrose-Pseudoinverse und ist für beliebige Matrizen definiert. Im Zusammenhang mit impliziten linearen Differentialgleichungen erhält man die Drazin-Inverse als weitere Verallgemeinerung der Inversen von quadratischen Matrizen. Gegenstand der Vorlesung sind die wesentlichen Eigenschaften der Moore-Penrose-Pseudoinversen und Drazin-Inversen sowie Anwendungen und Verallgemeinerungen dieser in den Bereichen elektronische Schaltkreise, Markov-Ketten, differentiell-algebraische Gleichungen und Verteilungsfunktionen.

Gliederung:

1 Moore-Penrose-Pseudoinverse
   1.1 Motivation und Grundlagen
   1.2 Existenz und Eindeutigkeit
   1.3 Eigenschaften und Darstellungen
   1.4 Summen und Produkte
   1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
   1.6 Verallgemeinerungen und Nebenbedingungen
2 Drazin-Inverse
   2.1 Motivation
   2.2 Existenz und Eindeutigkeit
   2.3 Eigenschaften und Darstellungen
3 Anwendungen und Verallgemeinerungen
   3.1 Elektronische Schaltkreise
   3.2 Markov-Ketten
   3.3 Differentiell-algebraische Gleichungen
   3.4 Verteilungsfunktionen

Literatur:

Ben-Israel/Greville: Generalized Inverses; John Wiley & Sons.
Campbell/Meyer: Generalized Inverses of Linear Transformations; Pitman.