Einführung in die Intervallrechnung (Professor Dr. Peter Kunkel)

Teilnehmerkreis:

Die Veranstaltung richtet sich an Studenten im Hauptstudium mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik und Diplom-Wirtschaftsmathematik.

Scheinvergabe:

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Vorkenntnisse:

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Inhalt:

Alle Rechenergebnisse, die man auf einem Computer auf der Basis von Fließkommazahlen erzielt, sind durch Rundungsfehler verfälscht. Arbeitet man etwa unter C mit float oder double deklarierten Variablen, so kann man ohne detaillierte Untersuchungen über die Auswirkung der Rundungsfehler keine Aussagen über das tatsächliche Resultat machen. Als Alternative kann man eine reelle Zahl auf dem Rechner durch ein Intervall ersetzen, das diese Zahl enthält und deren Grenzen Maschinenzahlen sind. Hat man dann noch eine Arithmetik zur Verfügung, die alle Elementaroperationen für solche Intervalle in der Art festlegt, daß das resultierende Intervall alle exakten Ergebnisse für alle möglichen Argumente aus den Ausgangsintervallen enthält, so erhält man für alle Berechnungen als Ergebnis stets ein Intervall, das das exakte Resultat enthält. Man spricht von Intervallrechnung oder auch verifiziertem Rechnen. In der vorliegenden Vorlesung sollen die Grundlagen der Intervallrechnung erarbeitet werden sowie numerische Verfahren, die speziell an die Intervallarithmetik angepaßt sind, behandelt werden.

Gliederung:

0 Vorbemerkungen
1 Reelle Intervallrechnung
   1.1 Rechnen mit Intervallen
   1.2 Intervallvektoren und Intervallmatrizen
   1.3 Wertebereichseinschließung
   1.4 Maschinenarithmetik für reelle Intervalle
2 Nullstelleneinschließung bei skalaren Problemen
   2.1 Intervall-Bisektionsverfahren
   2.2 Vereinfachtes Intervall-Newton-Verfahren
   2.3 Gewöhnliches Intervall-Newton-Verfahren
   2.4 Simultane Einschließung von reellen Polynomwurzeln
3 Fixpunktiteration
4 Lineare Gleichungssysteme
   4.1 Intervall-Gauß-Algorithmus
   4.2 Verfahren von Hansen
   4.3 Verfahren von Kupermann
   4.4 Verfahren von Schulz
5 Nullstelleneinschließung bei vektoriellen Problemen
   5.1 Vereinfachtes Intervall-Newton-Verfahren
   5.2 Gewöhnliches Intervall-Newton-Verfahren

Literatur:

Alefeld/Herzberger: Einführung in die Intervallrechnung; Bibliographisches Institut.
Alefeld/Mayer: Einschließungsverfahren; In Herzberger (Hg.): Wissenschaftliches Rechnen; Akademie-Verlag.

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