Geometrische Integration (Professor Dr. Peter Kunkel)

Teilnehmerkreis:

Studierende ab 5. Fachsemester mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik oder Diplom-Wirtschaftsmathematik

Scheinvergabe:

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Vorkenntnisse:

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Inhalt:

Ist man am Langzeitverhalten physikalischer Systeme interessiert, so möchte man, daß die zu deren Simulation verwendeten numerischen Integratoren wesentliche Eigenschaften des physikalischen Systems wiedergeben. Dabei ist man nicht so sehr an einer genauen Lösung interessiert, sondern daran, daß wichtige physikalische Gesetze wie Energie-, Impuls- oder Massen-Erhaltung sich weitgehend auf die numerische Lösung übertragen. Da Erhaltungsgesetze eine Einschränkung der Lösung auf eine Untermannigfaltigkeit des Phasenraums darstellen, spricht man von geometrischen Eigenschaften der Lösung und dementsprechend von geometrischen Integratoren.

In der Vorlesung sollen ausgehend von einfachen Simulationen physikalischer Systeme zunächst Familien von numerischen Verfahren und deren Eigenschaften im Hinblick auf Erhaltungsgrößen untersucht werden. Themen dabei sind Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten, insbesondere Lie-Gruppen, und zugehörige numerische Verfahren. Weitere Stichworte sind symmetrische Integration im Zusammenhang mit Reversibilität und symplektische Integration Hamiltonischer Systeme.

Gliederung:

1 Einleitung
2 Numerische Integratoren
   2.1 Allgemeine Konvergenztheorie
   2.2 Runge-Kutta-Verfahren
   2.3 Kollokationsverfahren
   2.4 Unstetige Kollokationsverfahren
   2.5 Partitionierte Runge-Kutta-Verfahren
   2.6 Adjungierte Verfahren
3 Erhaltungsgrößen
   3.1 Lineare Invariante
   3.2 Quadratische Invariante
   3.3 Projektionsverfahren
   3.4 Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
   3.5 Differentialgleichungen auf Lie-Gruppen
4 Symmetrische Integration und Reversibilität
5 Symplektische Integration Hamiltonischer Systeme
6 Anhang
   6.1 Integratoren auf Mannigfaltigkeiten
   6.2 Symmetrische Projektionsverfahren
   6.3 Rückwärtsanalyse
   6.4 Schrittweitensteuerung

Literatur:

Hairer/Lubich/Wanner: Geometric Numerical Integration -- Structure Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations; Springer (2004).
Leimkuhler/Reich: Simulating Hamiltonian Dynamics; Cambridge University Press (2004).
Kunkel/Mehrmann: Differential-Algebraic Equations -- Analysis and Numerical Solution; European Mathematical Society (2006).

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